✨Biến Đổi Fourier Trong Xử Lý Tín Hiệu Số ( tặng sổ tay xương rồng)

Trong khoa học kỹ thuật chúng ta có ba biến đổi tuyến tính thường được dùng: Biến đổi Laplace, biến đổi z và biến đổi Fourier. Biến đổi Laplace được dùng trong phân tích tín hiệu tương tự (liên tục thời gian), Biến đổi z được dùng trong phân tích tín hiệu số (rời rạc thời gian), trong lúc đó Biến đổi Fourier được dùng cho cả hai loại tín hiệu. Biến đổi Fourier vừa đa năng vừa cho phép tính toán hiệu quả nên được ứng dụng rộng rãi.

Bên cạnh Biến đổi Fourier (Fourier Transform) còn có Chuỗi Fourier (Fourier Series) ít quan trọng hơn; cả hai được gọi chung là Phân tích Fourier (Fourier Analysis).

Jean Baptiste Joseph Fourier là nhà toán học và vật lý người pháp (sinh ngày 21 tháng 3 năm 1768, mất ngày 16 tháng 5 năm 1830). Ông làm luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của nhà toán học người pháp Joseph Lagrange (1736 – 1813).

Chuỗi Fourier phân ly (phân tích) một tín hiệu (hay hàm nói chung) tuần hoàn ra tổng các thành phần sin và cosin, hay tương đương là các hàm mũ phức, có tần số là các bội số của tần số căn bản (fundamental frequency) của tín hiệu. Các bội số này gọi là các hài (harmonic). Từ các hài ta có thể phục hồi lại tín hiệu nguyên thủy một cách gần đúng. Biến đổi Fourier phân ly (phân tích) một tín hiệu (hay hàm nói chung) ra các thành phần phức khác nhau về độ lớn và pha. Điểm khác biệt là tín hiệu không cần phải tuần hoàn. Hầu hết tín hiệu thực tế là không tuần hoàn nên Biến đổi Fourier quan trọng và được dùng phổ biến hơn chuỗi Fourier, cơ sở toán học cũng phức tạp hơn. Tín hiệu là biểu diễn sự biến thiên của một biên độ theo thời gian còn Biến đổi Fourier của tín hiệu là biểu diễn tần số của nó. Từ biểu diễn tần số Biến đổi Fourier cho ta phục hồi lại tín hiệu nguyên thủy nếu cần. Quan sát một biến động vật lý (như độ rung của cầu, độ rung của đất,…) ở mặt cấu tạo tần số hữu ích hơn ở mặt biến thiên thời gian. Máy phân tích phổ (spectrum analyser) được dùng cho mục đích này. 

Có tổng cộng năm Biến đổi Fourier như thể hiện ở tựa sách và được trình bày qua sáu chương tóm lược như sau.

Chương 1 : Biến đổi Fourier thời gian liên tục CTFT

Chuỗi Fourier thời gian liên tục. Biến đổi Fourier thời gian liên tục CTFT. Các tính chất của CTFT. CTFT của các tín hiệu cơ bản. Đáp ứng tần số của hệ thống liên tục thời gian.

Chương 2 : Biến đổi Fourier thời gian rời rạc DTFT

Chuỗi Fourier thời gian rời rạc DTFS. Biến đổi Fourier thời gian rời rạc DTFT. Các tính chất của DTFT. DTFT các tín hiệu cơ bản. Đáp ứng tần số của hệ thống thời gian rời rạc. 

Chương 3 : Biến đổi Fourier rời rạc  DFT

Biến đổi Fourier rời rạc DFT. Các tính chất của DFT. DFT và biến đổi z. Dịch chuyển vòng tròn. Nhân chập vòng tròn. Tương quan.

Chương 4 : Biến đổi Fourier nhanh FFT

Biến đổi Fourier nhanh FFT. Các thuật toán FFT. Nhân chập nhanh. Nhân chập hai chuỗi có chiều dài khác xa nhau. 

Chương 5 : Ứng dụng biến đổi DFT và FFT

Phân tích phổ, phân giải tần số. Sự rò rỉ phổ và áp dụng cửa sổ. Ước lượng mật độ phổ năng lượng và cộng mất. Ứng dụng của tương quan. Phân tích phổ tiếng nói. 

Chương 6 : Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT

Hạn chế của Biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT. Ứng dụng biến đổi STFT.

Để thuận tiện cho việc tham khảo đối chiếu với các tài liệu tiếng Anh, dấu chấm thập phân được dùng thay vì dấu phẩy thập phân.

Trong mỗi chương có nhiều ví dụ giúp người đọc thuận lợi trong nắm bắt các lý luận. Cuối mỗi chương là phần bài tập, sau các chương là tài liệu tham khảo, và cuối cùng là bảng thuật ngữ Việt - Anh. Phần lớn nội dung của sách đã được dưa vào giảng dạy trong chương trình đại học, đã qua nhiều chỉnh sửa và bổ sung. Tuy nhiên khi xuất bản chính thức khó tránh khỏi sai sót, rất mong người đọc góp ý để lần tái bản được hoàn chỉnh hơn.